|
|
 |
Условие
Квадратная комната разгорожена перегородками на несколько меньших квадратных комнат. Длина стороны каждой комнаты – целое число.
Докажите, что сумма длин всех перегородок делится на 4.
Решение
Докажем сначала, что когда длины сторон всех комнат равны единице, то общая длина перегородок делится на 4.
Первый способ. При размере комнаты n×n имеется 2n(n – 1) перегородок, а число n (n – 1) чётно.
Второй способ. Все рассматриваемые стороны разбиваются на четвёрки сторон, получающихся друг из друга поворотами на ±90° и 180° относительно центра квадрата.
В общем случае разгородим каждую из комнат на комнаты со стороной длины 1. Для такого разбиения сумма длин перегородок по доказанному делится на 4. Посмотрим, как эта сумма отличается от первоначальной. После дополнительного разгораживания к сумме длин к каждой комнате добавится число, кратное 4 (здесь мы снова воспользовались разобранным частным случаем). Следовательно, общая сумма длин перегородок увеличится на число, кратное 4. Следовательно, и первоначальная сумма длин перегородок делится на 4.
