Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

В круг вписан правильный треугольник. Найдите отношение объёмов тел, полученных от вращения круга и треугольника вокруг диаметра, проходящего через вершину треугольника. В ответе укажите отношение меньшего объёма к большему (с точностью до сотых).

Вниз   Решение


В десятичной записи положительного числа α отброшены все десятичные знаки, начиная с третьего знака после запятой (то есть взято приближение α с недостатком с точностью до 0, 01). Полученное число делится на α и частное снова округляется с недостатком с той же точностью. Какие числа при этом могут получиться?

ВверхВниз   Решение


Пять друзей подошли к реке и обнаружили на берегу лодку, в которой могут поместиться все пятеро. Они решили покататься на лодке. Каждый раз с одного берега на другой переправляется компания из одного или нескольких человек. Друзья хотят организовать катание так, чтобы каждая возможная компания переправилась ровно один раз. Получится ли у них это сделать?

ВверхВниз   Решение


Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы, равная 6, составляет угол 30o с плоскостью другой боковой грани. Найдите объём призмы.

ВверхВниз   Решение


В пространстве расположен выпуклый многогранник, все вершины которого находятся в целых точках. Других целых точек внутри, на гранях и на рёбрах нет. (Целой называется точка, все три координаты которой – целые числа.) Доказать, что число вершин многогранника не превосходит восьми.

Вверх   Решение

Задача 79344
Темы:    [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Четность и нечетность ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Выпуклые тела ]
[ Правило произведения ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

В пространстве расположен выпуклый многогранник, все вершины которого находятся в целых точках. Других целых точек внутри, на гранях и на рёбрах нет. (Целой называется точка, все три координаты которой – целые числа.) Доказать, что число вершин многогранника не превосходит восьми.


Решение

Каждая из трёх координат целой точки может быть либо чётной, либо нечётной; всего  2³ = 8  различных вариантов. Поэтому если у многогранника есть девять вершин, расположенных в целых точках, то две из них имеют координаты одной чётности. Середина отрезка, соединяющего эти вершины, является целой точкой.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 40
Год 1977
вариант
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .