На отрезке MN построены подобные, одинаково ориентированные треугольники AMN, NBM и MNC (см. рис.).
Докажите, что треугольник ABC подобен всем этим треугольникам, а центр его описанной окружности равноудален от точек M и N.

   Решение

В ребусе ЯЕМЗМЕЯ = 2020 замените каждую букву в левой части равенства цифрой или знаком арифметического действия (одинаковые буквы одинаково, разные – по-разному) так, чтобы получилось верное равенство. Достаточно привести один пример, пояснений не требуется.

   Решение

Внутри остроугольного треугольника ABC дана точка P, причём APB = ACB + 60^o, BPC = BAC + 60^o, CPA = CBA + 60^o. Докажите, что точки пересечения продолжений отрезков AP, BP и CP (за точку P) с описанной окружностью треугольника ABC лежат в вершинах равностороннего треугольника.

   Решение

За круглым вращающимся столом, на котором стоят 8 белых и 7 чёрных чашек, сидят 15 гномов. Они надели 8 белых и 7 чёрных колпачков. Каждый гном берёт себе чашку, цвет которой совпадает с цветом его колпачка, и ставит напротив себя, после этого стол поворачивается случайным образом. Какое наибольшее число совпадений цвета чашки и колпачка можно гарантировать после поворота стола (гномы сами выбирают, как сесть, но не знают, как повернётся стол)?

   Решение

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Арифметические действия. Числовые тождества ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Может ли квадрат какого-либо натурального числа начинаться с 1983 девяток?

Решение

Одним из таких чисел является  N = 999...995  (1983 девятки). Действительно,  N² = (10¹⁹⁸⁴ − 5)² = 10³⁹⁶⁸ − 10¹⁹⁸⁵ + 25 = 99...9900...025  (1983 девятки и 1983 нуля).

Ответ

Может.

Замечания

Годится любое число, у которого первые 1983 цифры – девятки, а 1984-я цифра не меньше 5.

Источники и прецеденты использования