Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
Даны вершины A и C равнобедренной описанной
трапеции ABCD (AD| BC); известны также направления ее
оснований. Постройте вершины B и D.
Из произвольной точки M, лежащей внутри данного
угла с вершиной A, опущены перпендикуляры MP и MQ
на стороны угла. Из точки A опущен перпендикуляр AK
на отрезок PQ. Докажите, что
PAK =
MAQ.
Косинус угла между скрещивающимися прямыми AB и CD равен
. Точки E и F являются серединами
отрезков AB и CD соответственно, а прямая EF перпендикулярна
прямым AB и CD . Найдите угол ACB , если известно, что
AB = 2
, CD = 2
, EF =
.
Вершина A остроугольного треугольника ABC
соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A
проведена высота AH. Докажите, что
BAH =
OAC.
На окружности взяты точки A, B, C и D. Прямые AB
и CD пересекаются в точке M. Докажите, что
AC . AD/AM = BC . BD/BM.
Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC равна 2 и является хордой некоторой окружности. Катет AC равен 1 и лежит внутри окружности, а его продолжение пересекает окружность в точке D, причём CD = 3. Найдите радиус окружности.
В треугольнике ABC на сторонах AB, BC и AD взяты соответственно точки K, L и M. Известно, что AK = 5, KB = 3, BL = 2, LC = 7, CM = 1, MA = 6, Найдите расстояние от точки M до середины KL.
За дядькой Черномором выстроилось чередой бесконечное число богатырей. Доказать, что он может приказать части из них выйти из строя так, чтобы в строю осталось бесконечно много богатырей и все они стояли по росту (не обязательно в порядке убывания роста).
|
|
 |
Условие
За дядькой Черномором выстроилось чередой бесконечное число богатырей. Доказать,
что он может приказать части из них выйти из строя так, чтобы в строю осталось
бесконечно много богатырей и все они стояли по росту (не обязательно в порядке
убывания роста).
Решение
Пусть в череде богатырей не существует богатыря наименьшего роста. Это означает, что для каждого богатыря найдётся богатырь меньшего роста и тогда искомая цепочка легко строится последовательным выбором все меньших и меньших по росту богатырей. Если же имеется богатырь A1 наименьшего роста, то отбрасываем его и среди оставшихся выбираем богатыря A2 с наименьшим ростом (если же такого A2 нет, то для оставшихся проходит описанное выше рассуждение и утверждение задачи доказано). Далее, отбрасывая A1 и A2, из остальных богатырей выбираем A3 с наименьшим ростом (если такого A3 нет, то всё доказано), потом A4, A5 и т. д. В результате получаем цепочку стоящих по росту богатырей A1, A2, A3, ....
