Информация о задаче

Задача 79564

Темы:	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]
	[	Касательные к сферам	]
	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]
	[	Многогранные углы	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Автор: Шарыгин И.Ф.

На рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек, лежащих на рёбрах с общей вершиной, проведена плоскость. Докажите, что если три из четырёх проведённых плоскостей касаются вписанного в тетраэдр шара, то и четвёртая плоскость также его касается.

Решение

Рассмотрим тетраэдр ABCD и возьмём на его рёбрах точки K, L, M, P, Q, T, как показано на рисунке. Пусть плоскости KMP, MLT и LKQ касаются вписанного в тетраэдр шара, а плоскость PTQ этого шара не касается. Пусть, для определённости, вписанный шар пересекает плоскость PTQ. Проведём через PQ плоскость, касающуюся вписанного шара и обозначим через T₁ точку пересечения этой плоскости с ребром DC. Рассмотрим выпуклый многогранник (восьмигранник) KLMPQTT₁. Для удобства окрасим грани KMP, MLT, LKM и PQT₁ в чёрный цвет, а остальные грани пусть останутся белыми. В чёрный цвет окрашены грани, не принадлежащие поверхности тетраэдра ABCD, белыми являются грани, принадлежащие поверхности ABCD. Заметим, что ни одна пара чёрных граней не имеет общего ребра. Что же касается белых граней, то есть одно исключение: ребро T₁T является общим для двух белых граней. Все грани нашего восьмигранника касаются одного шара. Возьмём в каждой грани точку касания и соединим её со всеми вершинами этой грани. Каждая грань разобьётся на треугольники. При этом каждому чёрному треугольнику соответствует равный ему белый треугольник в смежной грани, имеющий с ним общую сторону. У белых же треугольников одно исключение — пара равных белых треугольников при ребре T₁T. Рассмотрим сумму углов получившихся чёрных треугольников вокруг точек касания. Эта сумма равна 4^.2 $\pi$ = 8 $\pi$ . Поскольку каждому чёрному треугольнику соответствует равный ему белый треугольник, то аналогичная сумма для белых треугольников равна 8 $\pi$ + 2 $\varepsilon$ , где $\varepsilon$ — угол, под которым видно из точки касания ребро T₁T. (Если вписанный шар не пересекает плоскость PTQ, то эта сумма равна 8 $\pi$ - 2 $\varepsilon$ .) Но, с другой стороны, сумма углов белых треугольников вокруг точек касания также равна 4^.2 $\pi$ = 8 $\pi$ . Следовательно, $\varepsilon$ = 0, т. е. точка T₁ совпадает с T. Утверждение доказано. Другое доказательство можно получить, опираясь на такую лемму. В выпуклый четырёхгранный угол с плоскими углами $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ можно вписать шар тогда и только тогда, когда суммы пар противоположных плоских углов равны: $\alpha$ + $\gamma$ = $\beta$ + $\delta$ ; если же $\alpha$ + $\gamma$ < $\beta$ + $\delta$ , то шар, касающийся плоскостей углов $\beta$ , $\gamma$ и $\delta$ , пересекает плоскость $\alpha$ .

Источники и прецеденты использования


журнал
Название	"Квант"
год
Год	1989
выпуск
Номер	9
Задача
Номер	М1184


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	52
Год	1989
вариант
Класс	10
задача
Номер	6