|
|
 |
Условие
Для круглосуточной охраны объекта нужно установить дежурство на посту в две смены: дневную и ночную. Дежурный может отработать дневную или ночную смену, или же сутки подряд. В первом случае сразу после дежурства ему предоставляется отдых не менее одних суток, во втором — не менее полутора суток, в третьем — не менее $2{,}5$ суток. Какое наименьшее количество дежурных необходимо при этих условиях?Подсказка
Предполагая, что трёх дежурных хватит, придите к противоречию.Решение
Четырёх дежурных хватит, если каждый будет дежурить одни сутки и отдыхать трое суток.Докажем, что трёх дежурных недостаточно. Предположим, что это не так, т. е. трое дежурных смогут обеспечить круглосуточную охрану объекта с соблюдением условия задачи.
Пусть $S$ суток – суммарная длительность отдыха, положенного всем трём дежурным на данный момент времени.
По окончании дневной смены дежурившему в эту смену полагаются не менее одних суток отдыха, а у каждого из двух других оставшееся время отдыха уменьшается на 0,5 суток (по сравнению с моментом начала дневной смены), поэтому за время дневной смены значение $S$ не может уменьшиться.
По окончании ночной смены дежурившему в эту смену полагаются не менее полутора суток отдыха, а у каждого из двух других оставшееся время отдыха уменьшается на 0,5 суток (по сравнению с моментом начала ночной смены), поэтому за время ночной смены значение $S$ увеличивается не менее чем на 0,5 суток.
Суточную смену можно считать двумя сменами подряд, поэтому по её окончании значение $S$ увеличивается не менее чем на 0,5 суток.
Таким образом, за 15 ночных и суточных смен суммарная длительность отдыха, положенного всем трём дежурным, превысит 7,5 суток. Следовательно, хотя бы одному из них будет положено отдыхать более 2,5 суток.
Остаётся показать, что двое дежурных не могут обеспечить круглосуточную охрану объекта длительностью более 2,5 суток. В самом деле, поскольку наименьшая возможная длительность отдыха равна наибольшей продолжительности одной смены, т. е. одним суткам, чтобы первый дежурный потом смог сменить второго, он должен отработать именно дневную смену, затем второй дежурный должен дежурить сутки, но тогда по окончании ещё одних суток первый уже не сможет продолжать дежурить, а
второй ещё не сможет его сменить.
