Условие
Докажите, что в правильном 54-угольнике найдутся четыре диагонали, не
проходящие через его центр и пересекающиеся в одной точке (отличной от
вершины).
Подсказка
В правильном 18-угольнике с вершинами, выбранными из вершин 54-угольника, найдите три вершины, для которых некоторые из диагоналей будут биссектрисами соответствующего треугольника.
Решение
Пусть $A_1A_2 \ldots A_18$ – правильный 18-угольник с вершинами, выбранными через две из вершин данного 54-угольника. Покажем, что его диагонали $A_1A_8$, $A_2A_9$, $A_4A_{12}$ и $A_6A_{16}$ (очевидно, не проходящие через центр) пересекаются в одной точке. Действительно, как и при решении аналогичной
задачи 3 для 9 класса, получаем, что в треугольнике $A_4A_8A_{16}$ прямые $A_4A_{12}$, $A_8A_1$, $A_{16}A_6$ являются биссектрисами и поэтому пересекаются в одной точке, а в треугольнике $A_2A_6A_{12}$ биссектрисами являются прямые $A_2A_9$, $A_6A_{16}$, $A_{12}A_4$, проходящие через эту же точку.
Замечания
Интересующийся читатель может попробовать выяснить, для каких ещё значений $n$, кроме кратных 12 и 18, в правильном $n$-угольнике найдутся четыре диагонали, пересекающиеся в одной точке, а также существует ли такое $n$, что в правильном $n$-угольнике пять диагоналей пересекаются в одной точке, отличной от центра
этого $n$-угольника.
Источники и прецеденты использования
