Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
В выпуклом многоугольнике на плоскости содержится не меньше m² + 1 точек с целыми координатами.
Докажите, что в нём найдутся m + 1 точек с целыми координатами, которые лежат на одной прямой.
Обозначим через S(m) сумму цифр натурального числа m. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных n, что S(3n) ≥ S(3n+1).
Можно ли доску размером 5×5 заполнить доминошками размером 1×2?
Ma, Mb, Mc – середины сторон, Ha, Hb, Hc – основания высот треугольника ABC площади S.
Доказать, что из отрезков MaHb, MbHc, McHa можно составить треугольник, найти его площадь.
Имеются два набора из чисел 1 и –1, в каждом по 1958 чисел. Доказать, что за некоторое число шагов можно превратить первый набор во второй, если на каждом шагу разрешается одновременно изменить знак у любых 11 чисел первого набора. (Два набора считаются одинаковыми, если у них на одинаковых местах стоят одинаковые числа.)
На окружности расставлено n цифр, отличных от 0. Сеня и Женя переписали себе в тетрадки n – 1 цифру, читая их по часовой стрелке. Оказалось, что хотя они начали с разных мест, записанные ими (n–1)-значные числа совпали. Докажите, что окружность можно разрезать на несколько дуг так, чтобы записанные на дугах цифры образовывали одинаковые числа.
|
|
 |
Условие
На окружности расставлено n цифр, отличных от 0. Сеня и Женя переписали себе в тетрадки n – 1 цифру, читая их по часовой стрелке. Оказалось, что хотя они начали с разных мест, записанные ими (n–1)-значные числа совпали. Докажите, что окружность можно разрезать на несколько дуг так, чтобы записанные на дугах цифры образовывали одинаковые числа.
Решение
Так как у Сени и Жени получились одинаковые числа, каждая из цифр 1, 2, ..., 9 входит в Сенино и Женино числа одно и то же число раз. Число появлений каждой из цифр на окружности постоянно, поэтому цифра, не выписанная Сеней, совпадает с цифрой, не выписанной Женей.
Предположим, что между теми точками на окружности, с которых Сеня и Женя соответственно начинали выписывать свои числа, расположена k − 1 цифра (если считать по часовой стрелке). Тогда из условия и сказанного выше следует, что поворот окружности на k цифр по часовой стрелке совмещает каждую цифру с равной ей.
Пусть m – наименьшее ненулевое количество цифр, на которое можно повернуть по часовой стрелке окружность так, чтобы каждая цифр совместилась с равной ей.
Разделим n на m с остатком: n = mq + r. Тогда легко видеть, что поворот на r цифр по часовой стрелке тоже переводит каждую цифру в равную ей. Так как r < m, то из условия минимальности m следует, что r = 0. Значит, n делится на m.
Теперь можно разрезать окружность на дуги, содержащие по m цифр, причём записанные на дугах цифры будут образовывать одинаковые числа.
