В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки H_a, H_c – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно, прямые AH_c, CH_a пересекаются в точке K. Докажите, что  ∠MBK = 90°.

   Решение

Постройте вписанно-описанный четырёхугольник по двум противоположным вершинам и центру вписанной окружности.

   Решение

С помощью циркуля и линейки на данной прямой MN постройте точку, из которой данный отрезок AB был бы виден под данным углом.

   Решение

На прямоугольном листе бумаги нарисован круг, внутри которого Миша мысленно выбирает n точек, а Коля пытается их разгадать. За одну попытку Коля указывает на листе (внутри или вне круга) одну точку, а Миша сообщает Коле расстояние от нее до ближайшей неразгаданной точки. Если оно оказывается нулевым, то после этого указанная точка считается разгаданной. Коля умеет отмечать на листе точки, откладывать расстояния и производить построения циркулем и линейкой. Может ли Коля наверняка разгадать все выбранные точки менее, чем за (n+1)² попыток?

   Решение

Темы:    [ Теория игр (прочее) ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Индукция в геометрии ] [ Построения (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

На прямоугольном листе бумаги нарисован круг, внутри которого Миша мысленно выбирает n точек, а Коля пытается их разгадать. За одну попытку Коля указывает на листе (внутри или вне круга) одну точку, а Миша сообщает Коле расстояние от нее до ближайшей неразгаданной точки. Если оно оказывается нулевым, то после этого указанная точка считается разгаданной. Коля умеет отмечать на листе точки, откладывать расстояния и производить построения циркулем и линейкой. Может ли Коля наверняка разгадать все выбранные точки менее, чем за (n+1)² попыток?

Решение

Пусть на листе бумаги осталось k ≥ 1 неразгаданных точек c_k,1, c_k,2, …, c_k,k. Покажем, как с помощью 2k + 1 попытки разгадать одну из них.
Начертим на листе бумаги отрезок прямой l, не пересекающей отмеченный круг. На этом отрезке так укажем (k + 1) точку
a_k,1, a_k,2, …, a_{k,k + 1}, что a_k,j лежит строго между a_{k,j − 1} и a_{k,j + 1} для всех j = 2,3, … , k. Пусть Миша назвал для этих точек расстояния d_k,1, d_k,2, … , d_{k,k + 1} соответственно.
Найдём с помощью циркуля и линейки и укажем такие точки b_k,j (j = 1,2,…,k), что они лежат по ту же сторону от прямой l, что и отмеченный круг, и отстоят от точек a_k,j и a_{k,j + 1} на расстояния d_k,j и d_{k,j + 1} соответственно (те индексы j, для которых такую точку b_k,j указать невозможно, мы пропускаем).
Докажем, что среди указанных точек b_k,j найдётся по крайней мере одна из точек c_k,i (i = 1,2,…,k). Действительно, по принципу Дирихле найдутся по крайней мере две точки a_k,j и a_k,m (1 ≤ j < m ≤ k + 1), для которых ближайшей из неразгаданных точек будет одна и та же точка c_k,i для некоторого i (1 ≤ i ≤ k). Тогда, как нетрудно показать, для любой точки из отрезка [a_k,j, a_k,m], и в частности для точки a_{k,j + 1}, точка c_k,i также будет являться ближайшей из всех неразгаданных точек. Следовательно, c_k,i будет отстоять от точек a_k,j и a_{k,j + 1} на расстояния d_k,j и d_{k,j + 1} соответственно, и лежать по ту же сторону от прямой l, что и отмеченный круг. Таким образом, точка c_k,i совпадает с одной из указанных нами точек b_k,j (j = 1,2,…,k). Итак, не более чем за 2k + 1 попытки можно заведомо разгадать одну из неразгаданных точек.
Докажем индукцией по n, что действуя указанным выше образом для k = n, n − 1, …, 1, Коля разгадает все загаданные Мишей точки менее чем за (n + 1)² попытку. Пусть n = 1, тогда указанный выше способ позволяет угадать единственную неразгаданную точку за
3 < (n + 1)² попытки. Предположим, что N неразгаданных точек можно заведомо разгадать менее чем за (N + 1)² попытку. Пусть
n = N + 1. Разгадаем одну из загаданных Мишей точек указанным выше способом не более чем за 2N + 3 попытки. Тогда по предположению индукции, все точки могут быть разгаданы менее чем за (N + 1)² + 2N + 3 = (N + 2)² попыток. Утверждение доказано.

Источники и прецеденты использования