Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
Внутри выпуклого четырехугольника ABCD построены равнобедренные
прямоугольные треугольники ABO1, BCO2, CDO3
и DAO4. Докажите, что если O1 = O3, то O2 = O4.
На плоскости взяты шесть точек A1, A2, B1, B2, C1, C2.
Докажите, что если окружности, описанные около треугольников A1B1C1,
A1B2C2, A2B1C2, A2B2C1,
проходят через одну точку, то и окружности, описанные около треугольников
A2B2C2, A2B1C1, A1B2C1, A1B1C2, проходят через
одну точку.
Пусть точки A, B, C и D лежат на конике, заданной уравнением второй степени f = 0. Докажите, что
Перед Алёшей 100 закрытых коробочек, в каждой – либо красный, либо синий кубик. У Алёши на счету есть рубль. Он подходит к любой закрытой коробочке, объявляет цвет и ставит любую сумму (можно нецелое число копеек, но не больше, чем у него на счету в данный момент). Коробочка открывается, и Алёшин счет увеличивается или уменьшается на поставленную сумму в зависимости от того, угадан или не угадан цвет кубика. Игра продолжается, пока не будут открыты все все коробочки. Какую наибольшую сумму на счету может гарантировать себе Алёша, если ему известно, что
a) синий кубик только один;
б) синих кубиков ровно n.
(Алёша может поставить и 0, то есть просто бесплатно открыть коробочку и увидеть цвет кубика.)
Даны четыре окружности S1, S2, S3, S4. Пусть S1
и S2 пересекаются в точках A1 и A2, S2 и S3 —
в точках B1 и B2, S3 и S4 — в точках C1 и C2,
S4 и S1 — в точках D1 и D2 (рис.). Докажите, что
если точки A1, B1, C1, D1 лежат на одной окружности S
(или прямой), то и точки A2, B2, C2, D2
лежат на одной окружности (или прямой).
Триангуляцией многоугольника называют его разбиение
на треугольники, обладающее тем свойством, что эти треугольники
либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину,
либо не имеют общих точек (т. е. вершина одного треугольника
не может лежать на стороне другого). Докажите, что
треугольники триангуляции можно раскрасить в три цвета так,
что имеющие общую сторону треугольники будут разного цвета.
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты
точки A1, B1 и C1, причем прямые AA1, BB1 и CC1
пересекаются в одной точке P. Докажите, что прямые AA2, BB2
и CC2, симметричные этим прямым относительно соответствующих
биссектрис, тоже пересекаются в одной точке Q.
Решая задачу: "Какое значение принимает выражение x2000 + x1999 + x1998 + 1000x1000 + 1000x999 + 1000x998 + 2000x³ + 2000x² + 2000x + 3000
(x – действительное число), если x² + x + 1 = 0?", Вася получил ответ 3000. Прав ли Вася?
|
|
 |
Условие
Решая задачу: "Какое значение принимает выражение x2000 + x1999 + x1998 + 1000x1000 + 1000x999 + 1000x998 + 2000x³ + 2000x² + 2000x + 3000
(x – действительное число), если x² + x + 1 = 0?", Вася получил ответ 3000. Прав ли Вася?
Решение
Так как трёхчлен x² + x + 1 не имеет действительных корней, то из того, что некоторое число является его корнем (ложное утверждение), следует все, что угодно, в том числе и то, что данное выражение равно 3000.
Ответ
Прав.
