В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ точки $K$, $L$, $M$, $N$ – середины сторон $BC$, $CD$, $DA$, $AB$ соответственно. Отрезки $AK$, $BL$, $CM$, $DN$, пересекаясь, делят друг друга на три части. Оказалось, что отношение длины средней части к длине всего отрезка одно и то же для всех четырех отрезков. Верно ли, что $ABCD$ – параллелограмм?

   Решение

В равные углы X₁OY и YOX₂ вписаны окружности ω₁ и ω₂, касающиеся сторон OX₁ и OX₂ в точках A₁ и A₂ соответственно, а стороны OY – в точках B₁ и B₂. C₁ – вторая точка пересечения A₁B₂ и ω₁, а C₂ – вторая точка пересечения A₂B₁ и ω₂. Докажите, что C₁C₂ – общая касательная к окружностям.

   Решение

Сторона основания ABCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна a, боковое ребро равно b. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую BD параллельно прямой AS.

   Решение

Темы:    [ Площадь сечения ] [ Параллельность прямых и плоскостей ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Сторона основания ABCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна a, боковое ребро равно b. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую BD параллельно прямой AS.

Подсказка

Секущая плоскость пересекается с плоскостью ASC по прямой, проходящей через центр квадрата ABCD параллельно боковому ребру AS. В сечении получится равнобедренный треугольник.

Решение

Плоскость треугольника ASC имеет с секущей плоскостью общую точку O (точка пересечения диагоналей квадрата ABCD) и проходит через прямую AS, параллельную секущей плоскости. Поэтому она пересекает секущую плоскость по прямой, параллельной AS и проходящей через точку O.

Пусть эта прямая пересекает ребро SC в точке M. Поскольку O - середина AC, OM - средняя линия треугольника ASC, OM = AS = b. Искомое сечение - равнобедренный треугольник BMD (равенство BM = DM следует из равенства треугольников BMC и DMC).

Поскольку MO высота треугольника BMD,

S(BMD) = BD ^. OM = a ^. b = ab.

Ответ

ab/4.

Источники и прецеденты использования