Задача 87022

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Отношение объемов ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Объем параллелепипеда ] [ Две пары подобных треугольников ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. На лучах C₁C, C₁B₁ и C₁D₁ отложены отрезки C₁M, C₁N и C₁K, равные соответственно  ⁵/₂ CC₁,  ⁵/₂ C₁B₁, 
⁵/₂ C₁D₁. В каком отношении плоскость, проходящая через точки M, N, K, делит объём параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.

Решение

  Прямые MK и CD лежат в плоскости грани DCC₁D₁. Точка F их пересечения лежит на прямой пересечения секущей плоскости с плоскостью грани ABCD. Аналогично точка E пересечения прямых BC и MN расположена на той же прямой. Из подобия треугольников MCF и MC₁K следует, что  CF : C₁K = MC : MC₁ = 3 : 5,  CF = ⅗ C₁K = ⅗·⁵/₂ C₁D₁ = ³/₂ C₁D₁ = ³/₂ CD,  DF = CF – CD = ½ CD.
  Аналогично  CE = ³/₂ BC,  BE = ½ BC.  Следовательно,  EF || BD.  Пусть P и Q – точки пересечения прямой EF с рёбрами AB и AD. Тогда четырёхугольник BPFD – параллелограмм. Поэтому  BP = DF = ½ AB.  Аналогично  DQ = BE = ½ AD .  Следовательно, PQ – средняя линия треугольника ABD. Точно так же построим точку R пересечения секущей плоскости с ребром AA₁ и докажем, что R – середина AA₁.
  Рассмотрим треугольную пирамиду APQR. Она подобна пирамиде ADBA₁ с коэффициентом ½. Значит, объём пирамиды APQR в 8 раз меньше объёма пирамиды ADBA₁. Пусть h – высота параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, проведённая из вершины A, S – площадь параллелограмма ABCD, V – объём параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁. Тогда  V_ADBA1 = ⅓ S_ADB·h = ⅓·½ Sh = ⅙ V.  Поэтому  V_APQR = ⅛ V_ADBA1 = ⅛·⅙ V = ¹/₄₈ V.

Ответ

1 : 47.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7229