|
|
 |
Условие
Точки M, N, K – середины рёбер соответственно AB, BC,
DD1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M, N, K.
б) В каком отношении эта плоскость делит ребро CC1 и диагональ DB1?
в) В каком отношении эта плоскость делит объём параллелепипеда?
Решение
а) Продолжим отрезки MN и DC до пересечения в точке Q. Прямая QK является прямой пересечения секущей плоскости с плоскостью грани CDD1C1. Обозначим через E точку пересечения этой прямой с ребром CC1. Аналогично построим точку P пересечения прямой MN с плоскостью грани ADD1A1 и точку F пересечения секущей плоскости с ребром AA1. Таким образом, искомое сечение – пятиугольник MNEKF.
б) Поскольку MN – средняя линия треугольника ABC, MN || AC. Поэтому четырёхугольник AMQC – параллелограмм. Следовательно,
QC = AM = ½ AB = ½ CD. Из подобия треугольников QCE и QDK следует, что CE : DK = QC : QD = 1 : 3.
Тогда CE = ⅓ DK = ⅙ DD1 = ⅙ CC1.
Следовательно, CE : EC1 = 1 : 5. Пусть H – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, L – точка пересечения отрезков MN и BD. Тогда L – середина BH, DL = DH + HL = ½ BD + ¼ BD = ¾ BD.
Секущая плоскость пересекает плоскость параллелограмма BDD1B1 по прямой LK, поэтому точка O пересечения диагонали DB1 параллелепипеда с отрезком LK является точкой пересечения диагонали DB1 с секущей плоскостью. Пусть R – точка пересечения прямых LK и B1D1, лежащих в плоскости параллелограмма BDD1B1. Из равенства треугольников D1KR и DKL следует, что D1R = DL = ¾ BD = ¾ B1D1. Поэтому B1R = B1D1 + D1R = 7/4 B1D1.
Из подобия треугольников LOD и ROB1 находим, что DO : OB1 = DL : B1R = 3 : 7.
в) Пусть S – площадь параллелограмма ABCD, h – высота параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 (расстояние между параллельными
плоскостями граней ABCD и A1B1C1D1), V – объём данного
параллелепипеда. Поскольку MN – средняя линия треугольника ABC, SBMN = ¼ SABC = S/8,
SAMP = SCNQ = SBMN = S/8, SPQD = S – SBMN + SAMP + SCNQ = 9S/8,
VKPQD = ⅓ SPDQ·h/2 = ⅓·9/8 S·h/2 = 3V/16.
Если h1 – высота треугольной пирамиды ECNQ, проведённая из вершины E, то h1 : h = EC : EC1 = 1 : 6. Значит,
VECNQ = ⅓·⅛ S·h/6 = 1/144 Sh = V/144.
Аналогично VFAMP = V/144. Поэтому секущая плоскость отсекает от данного параллелепипеда многогранник, объём которого равен
VKPDQ – VECNQ – VFAMP = 3V/16 – V/72 = 25V/144.
Ответ
б) 1 : 5, 3 : 7; в) 25 : 119.
.Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| неизвестно | |
| Номер | 7231 |
