|
|
 |
Условие
Сфера касается всех рёбер тетраэдра. Соединим точки касания на парах несмежных рёбер.
Докажите, что три полученные прямые пересекаются в одной точке.
Решение 1
Поместим в каждую вершину массу, обратную длине проведённой из этой вершины касательной к сферы (все три касательные для данной вершины, очевидно, равны). Тогда точка касания ребра совпадает с центром масс его концов, и, следовательно, все три отрезка из условия пересекаются в центре масс полученной системы материальных точек.
Решение 2
Пусть K, L, M, N, P, R – точки, в которых соответственно рёбра AB, AC, AD, BC, BD, CD тетраэдра ABCD касаются сферы, a, b, c, d – длины касательных, выходящих соответственно из вершин A, B, C, D.
Плоскости ABD и BCD пересекаются по прямой BD. По теореме Менелая (применённой к треугольнику ABD) прямая MK пересекает BD в точке, делящей отрезок BD (внешним образом) в отношении По той же причине прямая RN пересекает BD в той же точке, так как
(Если b = d, то MK и RN параллельны BD.) Значит, прямые MK и RN лежат в одной плоскости (пересекаются или параллельны). Следовательно, прямые MN и KR также пересекаются (почему они не параллельны?!).
Аналогично, прямая LP пересекает MN и KR. Поскольку эти три прямые очевидно не лежат в одной плоскости, они должны пересекаться в одной точке.
