ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87082
Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Сфера, касающаяся ребер тетраэдра ]
[ Центр масс ]
[ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сфера касается всех рёбер тетраэдра. Соединим точки касания на парах несмежных ребер.
Докажите, что три полученные прямые пересекаются в одной точке.


Решение 1

  Поместим в каждую вершину массу, обратно пропорциональную длинам проведённых из этой вершины касательных к сферы (все три касательные для данной вершины, очевидно, равны). Тогда точка касания ребра совпадает с центром масс его концов, и, следовательно, все три отрезка из условия задачи пересекаются в центре масс полученной системы материальных точек.


Решение 2

  Пусть K, L, M, N, P, R – точки, в которых соответственно рёбра AB, AC, AD, BC, BD, CD тетраэдра ABCD касаются сферы, a, b, c, d – длины касательных, выходящих соответственно из вершин A, B, C, D.
  Плоскости ABD и BCD пересекаются по прямой BD. По теореме Менелая (применённой к треугольнику ABD) прямая MK пересекает BD в точке, делящей отрезок BD (внешним образом) в отношении     По той же причине прямая RN пересекает BD в той же точке, так как     (Если  b = d,  то MK и RN параллельны BD.) Значит, прямые MK и RN лежат в одной плоскости (пересекаются или параллельны). Следовательно, прямые MN и KR также пересекаются (почему они не параллельны?!).
  Аналогично, прямая LP пересекает MN и KR. Поскольку эти три прямые очевидно не лежат в одной плоскости, они должны пересекаться в одной точке.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7312
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2009/2010
Номер 31
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .