Расстояния от центра описанной окружности остроугольного треугольника до его сторон равны d_a, d_b и d_c. Докажите, что  d_a + d_b + d_c = R + r.

   Решение

Составьте уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка с концами в точках P(-1;2;5) и Q(3;-4;1) перпендикулярно прямой, проходящей через точки A(0;-2;-1) и B(3;2;-1) .

   Решение

Точки M и N таковы, что  AM : BM : CM = AN : BN : CN. Докажите, что прямая MN проходит через центр O описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Окружность с центром I касается сторон AB, BC, CA треугольника ABC в точках C₁, A₁, B₁. Прямые AI, CI, B₁I пересекают A₁C₁ в точках X, Y, Z соответственно. Докажите, что  ∠YB₁Z = ∠XB₁Z.

   Решение

Найдите острый угол между плоскостями 2x - y - 3z + 5 = 0 и x + y - 2 = 0 .

   Решение

Темы:    [ Метод координат в пространстве ] [ Уравнение плоскости ] [ Скалярное произведение ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите острый угол между плоскостями 2x - y - 3z + 5 = 0 и x + y - 2 = 0 .

Решение

Векторы =(2;-1;-3) и =(1;1;0) соответственно перпендикулярны данным плоскостям. Если α – острый угол между плоскостями, а ϕ – угол между векторами и , то

cos ϕ = = = ,

cos α = | cos ϕ| = .

Ответ

arccos .

Источники и прецеденты использования