Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
На сколько частей делят плоскость n прямых общего положения, то есть таких, что никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку?
Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60o . Внутри конуса расположены три сферы радиуса 1. Каждая сфера касается двух других, основания конуса и его боковой поверхности. Найдите радиус основания конуса.
На сколько частей делят пространство n плоскостей,
проходящих через одну точку, если никакие три не имеют общей
прямой?
Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точки C1, A1 и B1, причем k из них лежат на сторонах треугольника и 3 - k — на продолжениях сторон. Пусть
Докажите, что:
а) точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R = 1 и k четно (Менелай);
б) прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечетно (Чева).
Внутри окружности с центром O дана точка A. Найдите точку M
окружности, для которой угол OMA максимален.
|
|
 |
Условие
Докажите, что две различные плоскости, перпендикулярные одной
и той же прямой, параллельны.
Решение
Пусть различные плоскости α и β перпендикулярны прямой h . Поскольку через точку проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой, плоскости α и β пересекают прямую h в различных точках A и B . Предположим, что эти плоскости имеют общую точку M . Проведём плоскость γ через прямую h и точку M . Поскольку прямая h перпендикулярна плоскостям α и β , проведённая плоскость пересекает плоскости α и β по прямым MA и MB , перпендикулярным прямой h . Таким образом, в плоскости γ через точку M проведены две различные прямые, перпендикулярные одной и той же прямой h . Что невозможно. Следовательно, плоскости α и β не имеют общих точек, т.е. параллельны.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| неизвестно | |
| Номер | 7704 |
