Задача 87325

Темы:    [ Тетраэдр и пирамида (прочее) ] [ Перпендикулярные плоскости ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Сфера радиуса R делит каждое из рёбер SA , SC , AB и BC треугольной пирамиды SABC на три равные части и проходит через середины рёбер AC и SB . Найдите высоту пирамиды, опущенную из вершины S .

Решение

Пусть указанная сфера проходит через точки P , Q ребра AS (рис.1), точки E , F ребра AB , через точку M ребра AC и точку N ребра BS , причём

AP = PQ = QS, AE = EF = BF, AM = CM, BN = NS.
Обозначим AP = PQ = QS = x . Рассмотрим сечение сферы плоскостью грани ASB (рис.2). Получим окружность, проходящую через точки P , Q , E , F и N . Из равенства AP· AQ = AE· AF следует, что
AE = EF = BF = x.
Поэтому AB = AS = 3x . Пусть N1 – отличная от N общая точка сферы и прямой BS . Тогда SN1· SN = SQ· SP = 2x2 и BN1· BN = BF· BE = 2x2 , а т.к. SN = BN , то SN1 = BN1 , т.е. N1 – также середина отрезка BS , что невозможно. Значит, прямая BS имеет со сферой единственную общую точку N , т.е. касается сферы в точке N . Аналогично, BC = 3x , SC = 3x и прямая AC касается сферы в точке M . Из равенств BN2 = BF· BE = 2x2 и AM2 = AP· AQ = 2x2 следует, что BS = AC = 2x . Пусть G – точка ребра BC , причём BG = BC . Поскольку сфера проходит через точки F и G , её центр лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка FG и перпендикулярной FG , а т.к. треугольники ABC и ASC равнобедренные, то эта плоскость проходит через точки B , S и M (рис.3). Плоскости BSM и ABC перпендикулярны, т.к. плоскость ABC проходит через прямую FG , перпендикулярную плоскости BSM . Значит, высота SH пирамиды SABC лежит в плоскости BSM . Сечение сферы плоскостью BSM – окружность радиуса R , касающаяся основания BS равнобедренного треугольника BSM в точке N – середине BS , и проходящая через вершину M . Поэтому высота MN треугольника BSM равна 2R , а высота этого треугольника, проведённая из вершины S , совпадает с высотой SH пирамиды SABCD . Из треугольника ABC находим, что
BM = = = x.
Таким образом, в треугольнике BSM известно, что
BM = MS = x, BN = SN = x, MN = 2R.
Так как BS· MN = BM· SH , то
SH = = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7796