Докажите, что если стороны a, b и противолежащие им углы α и β треугольника связаны соотношением  ^a/_{cos α} = ^b/_{cos β},  то треугольник – равнобедренный.

   Решение

Три купчихи – Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна – сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна – 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна – 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?

   Решение

Постройте четырехугольник по углам и диагоналям.

   Решение

Число Y получается из натурального числа X некоторой перестановкой его цифр. Известно, что  X + Y = 10²⁰⁰.  Доказать, что X делится на 50.

   Решение

а) Покажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два, разность которых кратна 5.
б) Останется ли это утверждение верным, если вместо разности взять сумму?

   Решение

Темы:    [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 2 Классы: 6,7,8

Прислать комментарий

Условие

а) Покажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два, разность которых кратна 5.
б) Останется ли это утверждение верным, если вместо разности взять сумму?

Решение

а) См. задачу 21972.

б) Если, например, если все пять чисел при делении на 5 дают остаток 1, то сумма любых двух из них будет давать остаток 2, то есть делиться на 5 не будет.

Ответ

б) Не останется.

Источники и прецеденты использования