Выбрано 14 задач 
Убрать все задачи
Два парома одновременно отходят от противоположных берегов реки и пересекают её перпендикулярно берегам. Скорости паромов постоянны, но не равны. Паромы встречаются на расстоянии 720 м от берега, после чего продолжают движение. На обратном пути они встречаются в 400 м от другого берега. Какова ширина реки?
Антон сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он решил пробежать вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 150 ступенек. Сколько ступенек он насчитал, спускаясь вместе с милиционером по неподвижному эскалатору?
Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама – за 2, малыш – за 5, а бабушка – за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя.)
Говорящие весы произносят вес, округлив его до целого числа килограммов (по правилам округления: если дробная часть меньше 0,5, то число округляется вниз, а иначе – вверх; например, 3,5 округляется до 4). Вася утверждает, что, взвешиваясь на этих весах с одинаковыми бутылками, он получил такие ответы весов:
Могло ли такое быть?
Дан многочлен x(x + 1)(x + 2)(x + 3). Найти его наименьшее значение.
Доказать, что 7 + 7² + ... + 74K, где K – любое натуральное число, делится на 400.
Найдите все такие числа a, что для любого натурального n число an(n + 2)(n + 4) будет целым.
Когда Гулливер попал в Лилипутию, он обнаружил, что там все вещи ровно в 12 раз короче, чем на его родине. Сможете ли Вы сказать, сколько лилипутских спичечных коробков поместится в спичечный коробок Гулливера?
Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Верно ли, что все числа равны?
В каждую клетку бесконечной клетчатой плоскости записано одно из чисел 1, 2, 3, 4 так, что каждое число встречается хотя бы один раз. Назовём клетку правильной, если количество различных чисел, записанных в четыре соседние (по стороне) с ней клетки, равно числу, записанному в эту клетку. Могут ли все клетки плоскости оказаться правильными?
а) Леша поднимается по лестнице из 10 ступенек. За один раз он прыгает вверх либо на одну ступеньку, либо на две ступеньки. Сколькими способами Леша может подняться по лестнице?
б) При спуске с той же лестницы Леша перепрыгивает через некоторые ступеньки (может даже через все 10). Сколькими способами он может спуститься по этой лестнице?
Есть три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. Саша взял себе один треугольник, а Боря – два оставшихся. Оказалось, что Боря может приложить (без наложения) один из своих треугольников к другому, и получить треугольник, равный Сашиному. Какой из этих треугольников взял Саша?
Рома и Витя ехали вниз по эскалатору. Посередине эскалатора хулиган Витя сорвал с Ромы шапку и бросил её на встречный эскалатор. Энергичный Рома побежал обратно вверх по эскалатору, чтобы затем спуститься вниз и вернуть шапку. Хитрый Витя побежал по эскалатору вниз, чтобы затем подняться вверх и успеть раньше Ромы. Кто успеет раньше, если скорости ребят относительно эскалатора одинаковы, постоянны и не зависят от направления движения?
Пошёл Иван-царевич искать похищенную Кощеем Василису Прекрасную. Навстречу ему Леший.
– Знаю, – говорит, – я дорогу в Кощеево Царство, случалось, ходил туда. Шёл я четыре дня и четыре ночи. За первые сутки я прошёл треть пути – прямой дорогой на север. Потом повернул на запад, сутки продирался лесом и прошёл вдвое меньше. Третьи сутки я шёл лесом, уже
на юг, и вышел на прямую дорогу, ведущую на восток. Прошагал я по ней
за сутки 100 вёрст и попал в Кощеево царство. Ты ходок такой же резвый, как и я. Иди, Иван-царевич, глядишь, на пятый день будешь в гостях у Кощея.
– Нет, – отвечал Иван-царевич, – если всё так, как ты
говоришь, то уже завтра я увижу мою Василису Прекрасную.
Прав ли он? Сколько вёрст прошёл Леший и сколько думает пройти Иван-царевич?
|
|
 |
Условие
Пошёл Иван-царевич искать похищенную Кощеем Василису Прекрасную. Навстречу ему Леший.
– Знаю, – говорит, – я дорогу в Кощеево Царство, случалось, ходил туда. Шёл я четыре дня и четыре ночи. За первые сутки я прошёл треть пути – прямой дорогой на север. Потом повернул на запад, сутки продирался лесом и прошёл вдвое меньше. Третьи сутки я шёл лесом, уже
на юг, и вышел на прямую дорогу, ведущую на восток. Прошагал я по ней
за сутки 100 вёрст и попал в Кощеево царство. Ты ходок такой же резвый, как и я. Иди, Иван-царевич, глядишь, на пятый день будешь в гостях у Кощея.
– Нет, – отвечал Иван-царевич, – если всё так, как ты
говоришь, то уже завтра я увижу мою Василису Прекрасную.
Прав ли он? Сколько вёрст прошёл Леший и сколько думает пройти Иван-царевич?
Подсказка
Попробуйте начертить путь Лешего.
Решение
Путь Лешего изображён на рисунке.
Ответ
Прав; 300 вёрст; 100 вёрст.
