Докажите неравенство     при любых натуральных n и k.

   Решение

В треугольник АВС вписана окружность и отмечен её центр I и точки касания P, Q, R со сторонами ВС, СА, АВ соответственно. Одной линейкой постройте точку К, в которой окружность, проходящая через вершины В и С, касается (внутренним образом) вписанной окружности.

   Решение

AB — диаметр окружности, CD — хорда этой окружности. Перпендикуляры к хорде, проведённые через её концы C и D, пересекают прямую AB в точках K и M соответственно. Докажите, что AK = BM.

   Решение

Что больше 200! или 100²⁰⁰?

   Решение

В угол с вершиной $C$ вписана окружность $\omega$. Рассматриваются окружности, проходящие через $C$, касающиеся $\omega$ внешним образом и пересекающие стороны угла в точках $A$ и $B$. Докажите, что периметры всех треугольников $ABC$ равны.

   Решение

На данной прямой l, проходящей через центр O данной окружности, фиксирована точка C (расположенная внутри окружности — прим. ред.). Точки A и A' расположены на окружности по одну сторону от l так, что углы, образованные прямыми AC и A'C с прямой l, равны. Обозначим через B точку пересечения прямых AA' и l. Доказать, что положение точки B не зависит от точки A.

   Решение

Числа а, b и с лежат в интервале  (0, 1).  Докажите, что  a + b + c + 2abc > ab + bc + ca + 2.

   Решение

Упростите выражения:
а) sinsinsin...sin;
б) sinsinsin...sin;
в) coscoscos...cos;
г) coscoscos...cos.

   Решение

Дано 1993 числа. Известно, что сумма любых четырёх чисел положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

   Решение

Темы:    [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Дано 1993 числа. Известно, что сумма любых четырёх чисел положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

Решение 1

Обозначим числа как a₁, a₂, ..., a₁₉₉₃.  a₁ + a₂ + a₃ + a₄ > 0,  a₂ + a₃ + a₄ + a₅ > 0,  ...,   a₁₉₉₀ + a₁₉₉₁ + a₁₉₉₂ + a₁₉₉₃ > 0,  a₁₉₉₁ + a₁₉₉₂ + a₁₉₉₃ + a₁ > 0,
a₁₉₉₂ + a₁₉₉₃ + a₁ + a₂ > 0,  a₁₉₉₃ + a₁ + a₂ + a₃ > 0.  Сложив левые части, получим, что  4(a₁ + a₂ + ... + a₁₉₉₃) > 0.

Решение 2

Расположим числа в порядке возрастания:  a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a₁₉₉₃.  Так как сумма любых четырёх чисел положительна, то и сумма первых четырёх чисел положительна, следовательно, четвёртое число положительно, но тогда и числа с большими номерами положительны. Добавляя их к сумме первой четвёрки, получим положительное число.

Решение 3

Обязательно есть хотя бы одно положительное число. Оставшиеся 1992 числа можно разбить произвольным образом на четвёрки, сумма чисел которых по условию положительна. Значит, и сумма всех чисел положительна.

Замечания

Утверждение верно для любого количества чисел, большего 4.

Источники и прецеденты использования