Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что треугольники abc и a'b'c' собственно подобны, тогда и только тогда, когда

   Решение

---

Докажите, что барицентрические координаты точки X, лежащей внутри треугольника ABC, равны (S_BCX : S_CAX : S_ABX).

   Решение

---

Вадим и Лёша спускались с горы. Вадим шёл пешком, а Лёша съезжал на лыжах в семь раз быстрее Вадима. На полпути Лёша упал, сломал лыжи и ногу и пошёл в два раза медленней Вадима. Кто первым спустится с горы?

   Решение

---

Найти все рациональные положительные решения уравнения  x^y = y^x  (x ≠ y).

   Решение

---

Имеется неограниченное количество плиток в форме многоугольника M. Будем говорить, что из этих плиток можно сложить паркет, если ими можно покрыть круг сколь угодно большого радиуса так, чтобы не было ни просветов, ни перекрытий.
а) Докажите, что если M — выпуклый n-угольник, где n7, то паркет сложить нельзя.
б) Приведите пример такого выпуклого пятиугольника с попарно непараллельными сторонами, что паркет сложить можно.

   Решение

---

Числа a, b, c и d таковы, что  a² + b² + c² + d² = 4.  Докажите, что  (2 + a)(2 + b) ≥ cd.

   Решение

---

В классе 33 ученика, всем вместе 430 лет.
Докажите, что если выбрать 20 самых старших из них, то им вместе будет не меньше, чем 260 лет. (Возраст любого ученика – целое число.)

   Решение

---

Дан отрезок $AB$. Пусть $C$ – произвольная точка на серединном перпендикуляре к $AB$; $O$ – точка на описанной окружности треугольника $ABC$, противоположная $C$; эллипс с центром $O$ касается прямых $AB$, $BC$, $CA$. Найдите геометрическое место точек касания эллипса с прямой $BC$.

   Решение

---

Постройте треугольник по двум сторонам так, чтобы медиана, проведённая к третьей стороне, делила угол треугольника в отношении  1 : 2.

   Решение

---

Дан треугольник со сторонами a, b и c, причём  a ≥ b ≥ c;  x, y и z – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что

   Решение

---

Внутри треугольника ABC взята точка M, причём

Докажите, что проекции точки M на стороны треугольника служат вершинами правильного треугольника.

   Решение

---

На бесконечной клетчатой бумаге отмечено шесть клеток (см. рисунок).

На некоторых клетках стоят фишки. Положение фишек разрешается преобразовывать по следующему правилу: если клетки соседняя сверху и соседняя справа от данной фишки обе свободны, то можно поставить в эти клетки по фишке, убрав при этом старую. Ставится цель за некоторое количество таких операций освободить все шесть отмеченных клеток. Можно ли достигнуть этой цели, если
  а) в исходной позиции имеются всего 6 фишек, и они стоят на отмеченных клетках;
  б) в исходной позиции имеется всего одна фишка, и она стоит в левой нижней отмеченной клетке.

   Решение

Темы:    [ Инварианты ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

На бесконечной клетчатой бумаге отмечено шесть клеток (см. рисунок).

На некоторых клетках стоят фишки. Положение фишек разрешается преобразовывать по следующему правилу: если клетки соседняя сверху и соседняя справа от данной фишки обе свободны, то можно поставить в эти клетки по фишке, убрав при этом старую. Ставится цель за некоторое количество таких операций освободить все шесть отмеченных клеток. Можно ли достигнуть этой цели, если
  а) в исходной позиции имеются всего 6 фишек, и они стоят на отмеченных клетках;
  б) в исходной позиции имеется всего одна фишка, и она стоит в левой нижней отмеченной клетке.

Решение

   а) Присвоим каждой клетке угла "вес" (рис. 1). Вычислим сумму весов всех клеток угла:
(½ + ¼ + ⅛ + ...) + (¼ + ⅛ + ...) + (⅛ + ...) + ... = 1 + ½ + ¼ + ... = 2.
  Заметим, что сумма весов клеток, на которых стоят фишки, не меняется при допустимом преобразовании. Вначале сумма весов клеток, занимаемых фишками, равна   ½ + 2·¼ + 3·⅛ = ¹¹/₈.   Если бы нам удалось освободить уголок от фишек, то все фишки стояли бы на клетках вне уголка, сумма весов которых равна   2 – ¹¹/₈ = ⅝ < ¹¹/₈.   Противоречие.

  б) Допустим, мы смогли освободить уголок от фишек. Заметим, что тогда в каждом ряду Р₁ и Р₂ (рис. 2) стоит ровно по одной фишке, а сумма весов занимаемых ими клеток не превосходит ¹/₈. Остальные фишки должны стоять в области O. Сумма весов всех клеток этой области равна ⅜. Тем самым, сумма весов клеток, занимаемых фишками, строго меньше (так как в области O располагается конечное число фишек) чем   ⅜ + ⅛ = ½.   Это противоречит тому, что в начале сумма весов была равна ½.

Ответ

а)  Нельзя;   б)  нельзя.

Замечания

1. Баллы: 8 + 8.

2. См. также статью А. Ходулева "Расселение фишек".

Источники и прецеденты использования