Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Докажите, что высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника (т.е. треугольника с вершинами в основаниях высот данного).
Найдите геометрическое место точек, расстояния от каждой из которых до двух данных точек относятся как m : n.
Пусть p – простое число. Докажите, что при некотором простом q все числа вида np – p не делятся на q.
Найдите все такие натуральные (a, b), что a2 делится на натуральное число 2ab2 – b3 + 1.
Пусть $x_1 \le \dots \le x_n$. Докажите неравенство $$\bigg( \sum \limits_{i,j=1}^n |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{2 (n^2-1)}{3} \sum \limits_{i,j=1}^n (x_i-x_j)^2.$$ Докажите, что оно обращается в равенство только если числа $x_1, \dots, x_n$ образуют арифметическую прогрессию.
Дано 101-элементное подмножество A множества S = {1, 2, ..., 1000000}.
Докажите, что для некоторых t1, ..., t100 из S множества
Aj = {x + tj | x ∈ A; j = 1, ..., 100} попарно не пересекаются.
Дан описанный четырёхугольник ABCD, P, Q и R – основания перпендикуляров, опущенных из вершины D на прямые BC, CA, AB соответственно. Докажите, что биссектрисы углов ABC, ADC и диагональ AC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда |PQ| = |QR|.
Для тестирования новой программы компьютер выбирает случайное действительное число A из отрезка [1, 2] и заставляет программу решать уравнение 3x + A = 0. Найдите вероятность того, что корень этого уравнения меньше чем –0,4.
Пешеход шёл 3,5 часа, причём за каждый промежуток времени в один час он
проходил ровно 5 км.
Следует ли из этого, что его средняя скорость за всё время равна 5 км/час?
|
|
 |
Условие
Пешеход шёл 3,5 часа, причём за каждый промежуток времени в один час он
проходил ровно 5 км.
Следует ли из этого, что его средняя скорость за всё время равна 5 км/час?
Решение
Пусть пешеход идёт полчаса со скоростью 10 км/ч, затем полчаса отдыхает и т. д. Тогда за каждый час он будет проходить ровно 5 км, а всего пройдёт 20 км (поскольку идти он будет четыре получасовых интервала). Средняя скорость при этом равна 20 : 3,5 > 5 км/ч.
Ответ
Не следует.
Замечания
баллы: 8
