|
|
 |
Условие
Дан описанный четырёхугольник ABCD, P, Q и R – основания перпендикуляров, опущенных из вершины D на прямые BC, CA, AB соответственно. Докажите, что биссектрисы углов ABC, ADC и диагональ AC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда |PQ| = |QR|.
Решение
Допустим, что биссектрисы углов ABC, ADC пересекаются с AC в точках L и M соответственно. Так как AL : CL = AB : CB, AM : CM = AD : CD, совпадение точек L и M означает равенство AB : CB = AD : CD ⇔ AB·CD = CB·AD.
Пусть ∠CAB = α, ∠ACD = γ. Круги, построенные на DC и DA как на диаметрах содержат точки P, Q и Q, R соответственно. Следовательно, угол PDQ равен γ или π – γ, а угол QDR равен α или π – α. Значит, PQ = CD sin γ, QR = AD sin α. Таким образом, равенство PQ = QR равносильно условию CD : AD = sin α : sin γ. С другой стороны, по теореме синусов sin α : sin γ = CB : AB. Итак, равенство PQ = QR равносильно равенству
CD : AD = CB : AB, то есть равенству AB·CD = CB·AD, что нам и требуется.
