Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
F(x) – возрастающая функция, определённая на отрезке [0, 1]. Известно, что область её значений принадлежит отрезку [0, 1]. Доказать, что, каково бы ни было натуральное n, график функции можно покрыть N прямоугольниками, стороны которых параллельны осям координат так, что площадь каждого равна 1/n². (В прямоугольник мы включаем его внутренние точки и точки его границы.)
Сумма нескольких положительных чисел равна 10, а сумма квадратов этих чисел больше 20. Докажите, что сумма кубов этих чисел больше 40.
Чему равны числа Фибоначчи с отрицательными
номерами F-1, F-2, ..., F-n,...?
В связном графе степени четырёх вершин равны 3, а степени остальных вершин равны 4.
Докажите, что нельзя удалить ребро так, чтобы граф распался на две изоморфные компоненты связности.
Докажите, что точки, симметричные точке пересечения
высот треугольника ABC относительно его сторон, лежат
на описанной окружности.
Двое играющих по очереди увеличивают натуральное число так, чтобы при каждом увеличении разность между новым и старым значениями числа была бы больше нуля, но меньше старого значения. Начальное значение числа равно 2. Выигравшим считается тот, в результате хода которого получится 1987. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр?
|
|
 |
Условие
Двое играющих по очереди увеличивают натуральное число так, чтобы при каждом увеличении разность между новым и старым значениями числа была бы больше нуля, но меньше старого значения. Начальное значение числа равно 2. Выигравшим считается тот, в результате хода которого получится 1987. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр?
Решение
В последовательности 1987, 993, 496, 248, 124, 62, 31, 15, 7, 3 каждое следующее число является неполным частным от деления предыдущего на 2 с остатком. Докажем, что это последовательность выигрышных чисел (то есть игрок, назвавший одно из этих чисел, имеет выигрышную стратегию). Число 1987 является выигрышным по условию. Пусть число 2k или 2k + 1 (k > 2) – выигрышное. Тогда и k – выигрышное число. Действительно, если один игрок называет число k, то другой может назвать только число из отрезка [k + 1, 2k – 1], после чего первый может назвать и 2k и 2k + 1. Начинающий игру обязан назвать число 3 и, следуя указанной стратегии, выиграет.
Ответ
Начинающий.
Замечания
5 баллов
