Бабе-Яге подарили большие песочные часы на 5 минут и маленькие – на 2 минуты. Зелье должно непрерывно кипеть ровно 8 минут. Когда оно закипело, весь песок в больших часах находился в нижней половине, а в маленьких – какая-то (неизвестная) часть песка в верхней, а остальная часть – в нижней половине. Помогите Бабе-Яге отмерить ровно 8 минут.
(Песок все время сыплется с постоянной скоростью. На переворачивание время не тратится.)

   Решение

Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Доказательство от противного ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

В клетках доски  n×n  произвольно расставлены числа от 1 до n². Докажите, что найдутся две такие соседние клетки (имеющие общую вершину или общую сторону), что стоящие в них числа отличаются не меньше чем на  n + 1.

Решение

Допустим, что для каждых двух соседних клеток записанные в них числа отличаются не более чем на n. Рассмотрим клетки, в которых стоят числа 1 и n². Шахматный король может попасть их первой клетки во вторую, сделав не более  n – 1  хода, поэтому разность  n² – 1  не больше чем  n(n – 1).  Противоречие.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования