Информация о задаче

Выбрано 5 задач

При каких $n$ можно замостить плоскость равными фигурами, ограниченными $n$ дугами окружностей?

Паша выбрал 2017 (не обязательно различных) натуральных чисел a₁, a₂, ..., a₂₀₁₇ и играет сам с собой в следующую игру. Изначально у него есть неограниченный запас камней и 2017 больших пустых коробок. За один ход Паша добавляет в любую коробку (по своему выбору) a₁ камней, в любую из оставшихся коробок (по своему выбору) – a₂ камней, ..., наконец, в оставшуюся коробку – a₂₀₁₇ камней. Пашина цель – добиться того, чтобы после некоторого хода во всех коробках стало поровну камней. Мог ли он выбрать числа так, чтобы цели можно было добиться за 43 хода, но нельзя – за меньшее ненулевое число ходов?

Решение

Автор: Кухарчук И.

В угол вписаны три окружности $\Gamma_1$ , $\Gamma_2$ , $\Gamma_3$ (радиус $\Gamma_1$ наименьший, а радиус $\Gamma_3$ наибольший), притом $\Gamma_2$ касается $\Gamma_1$ и $\Gamma_3$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Пусть $l$ – касательная в точке $A$ к $\Gamma_1$ . Рассмотрим все окружности $\omega$ , касающиеся $\Gamma_1$ и $l$ . Найдите геометрическое место точек пересечения общих внутренних касательных к парам окружностей $\omega$ и $\Gamma_3$ .

Решение

Бесконечная последовательность чисел x_n определяется условиями: x_n+1 = 1 – |1 – 2x_n|, причём 0 ≤ x₁ ≤ 1.
а) Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том и только в том случае, когда x₁ рационально.
б) Сколько существует значений x₁, для которых эта последовательность – периодическая с периодом T (для каждого T = 2, 3, ...)?

Решение

Автор: Фомин С.В.

В нашем распоряжении имеются "кирпичи", имеющие форму, которая получается следующим образом: приклеиваем к одному единичному кубу по трём его граням, имеющим общую вершину, ещё три единичных куба, так что склеиваемые грани полностью совпадают. Можно ли сложить прямоугольный параллелепипед 11×12×13 из таких "кирпичей"?

Решение

Условие

Решение

Замечания

Источники и прецеденты использования