Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC взяты точки K и L соответственно, так что AK + LC = KL. Из середины M отрезка KL провели прямую, параллельную BC, и эта прямая пересекла сторону AC в точке N. Найдите величину угла KNL.
Кресла для зрителей вдоль лыжной трассы занумерованы по порядку: 1, 2, 3, ..., 1000. Кассирша продала n билетов на все первые 100 мест, но n больше 100, так как на некоторые места она продала больше одного билета (при этом n < 1000). Зрители входят на трассу по одному.Каждый, подойдя к своему месту, занимает его, если оно свободно, если же занято, говорит "Ох!", идёт в сторону роста номеров до первого свободного места и занимает его. Каждый раз, обнаружив очередное место занятым, он говорит "Ох!". Докажите, что число "охов" не зависит от того, в каком порядке зрители выходят на трассу.
Можно ли подобрать два многочлена P(x) и Q(x) с целыми коэффициентами так, что P – Q, P и P + Q – квадраты некоторых многочленов (причём Q не получается умножением P на число)?
|
|
 |
Условие
Можно ли подобрать два многочлена P(x) и Q(x) с целыми коэффициентами так, что P – Q, P и P + Q – квадраты некоторых многочленов (причём Q не получается умножением P на число)?
Решение
Например, P = (x² + 1)², Q = 4x³ – 4x. Тогда P + Q = (x² + 1)² + 4x(x² – 1) = (x² – 1)² + 4x(x² – 1) + 4x² = (x² – 1 + 2x)²; аналогично P – Q = (x² – 1 – 2x)².
Ответ
Можно.
Замечания
1. Положим P = S², P – Q = R², P + Q = T². Тогда 2S² = 2P = R² + T². Если S² = U² + V<², то 2S² = (U + V)² + (U – V)². Заметим, что
(x² + 1)² = (x² – 1)² + (2x)², поэтому можно взять S = x² + 1, U = x² – 1, V = 2x. Это и даёт указанный пример.
2. 5 баллов.
