Разложите функции     и     (n ≥ 1)  в цепные дроби.
Определения многочленов Фибоначчи F_n(x) и Люка L_n(x) смотри, например, здесь.

   Решение

Сколько целых чисел от 1 до 1997 имеют сумму цифр, делящуюся на 5?

   Решение

Проверьте, что многочлены Чебышёва T_n(x) и U_n(x) (см. задачу 61099) удовлетворяют начальным условиям
T₀(x) = 1,   T₁(x) = x;   U₀(x) = 1,   U₁(x) = 2x,   и рекуррентным формулам   T_n+1(x) = 2xT_n(x) – T_n–1(x),   U_n+1(x) = 2xU_n(x) – U_n–1(x).

   Решение

Можно ли найти десять таких последовательных натуральных чисел, что сумма их квадратов равна сумме квадратов следующих за ними девяти последовательных натуральных чисел?

   Решение

Темы:    [ Тождественные преобразования ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7,8

Прислать комментарий

Условие

Можно ли найти десять таких последовательных натуральных чисел, что сумма их квадратов равна сумме квадратов следующих за ними девяти последовательных натуральных чисел?

Решение

Обозначим 10 последовательных чисел через  n – 9, ..., n – 1,  n.  По условию
  (n – 9)² + ... + (n – 1)² + n² = (n + 1)² + ... + (n + 9)²,
  n² = (n + 9)² – (n – 9)² + ... + (n + 1)² – (n – 1)² = 2n·(18 + 16 + ... + 2) = 180n.
Отсюда  n = 180,  то есть  171² + ... + 180² = 181² + ... + 189².

Ответ

Можно.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования