|
|
 |
Условие
Докажите, что не существует никакой (даже разрывной) функции y = f(x), для которой f(f(x)) = x² – 1996 при всех x.
Решение
Обозначим P(x) = x² – 1996. Пусть x1, x2 – корни квадратного уравнения P(x) = x.
Заметим, что уравнение P(P(x)) = x имеет четыре различных действительных корня. Действительно,
P(P(x)) – x = (x² – 1996)² – 1996 – x = (x² – 1996)² – x² + (x² – x – 1996) =
= (x² + x – 1996)(x² – x – 1996) + (x² – x – 1996) = (x² + x – 1995)(x² – x – 1996).
Обозначим эти корни через x1, x2, x3, x4 (x1, x2 – те же, а x3, x4 – корни уравнения x² + x – 1995 = 0; заметим, что x3 + x4 = –1, а P(x3) = –x3 – 1 = x4).
Предположим, что требуемая функция f(x) существует. Тогда P(P(f(x3))) = f(f(f(f(f(x3))))) = f(P(P(x3))) = f(x3), то есть число f(x3) тоже является корнем уравнения P(P(x)) = x.
f(x3) ≠ x3, так как иначе P(x3) = f(f(x3)) = f(x3) = x3, а на самом деле P(x3) = x4.
f(x3) ≠ x4, иначе x4 = P(x3) = f(f(x3)) = f(x4), что невозможно в силу равноправия x3 и x4.
Так что f(x3) = x1 или f(x3) = x2, но это тоже невозможно: если например, f(x3) = x1, то
x4 = P(x3) = f(f(x3)) = f(x1) = f(P(x1)) = f(P(f(x3))) = f(f(f(f(x3)))) = x3, а это неверно.
Таким образом, f(x3), являясь корнем уравнения P(P(x)) = x, отлично от всех четырёх его корней. Противоречие.
Замечания
10 баллов
Идеология. 1. Догадаться, что P(P(x)) – x делится на P(x) – x можно следующим образом: корни x1, x2 уравнения P(x) = x являются и корнями уравнения P(P(x)) = x, и по теореме Безу P(P(x)) – x делится на (x – x1)(x – x2) = P(x) – x.
2. x1, x2 – неподвижные точки функции P, а x3, x4 – её точки периода 2. Подробнее о связи этих понятий с нашей задачей см. в решениях Задачника Кванта.
