Задача 98335

Темы:    [ Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) ] [ Перегруппировка площадей ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Авторы: Гальперин Г.А., Васильев Н.Б.

F – выпуклая фигура с двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии. Через точку M, лежащую внутри фигуры и отстоящую от осей на расстояния a и b, провели прямые, параллельные осям. Эти прямые делят F на четыре области. Найдите разность между суммой площадей большей и меньшей из областей и суммой площадей двух других.

Решение

Отразив область CMD (см. рис.) относительно вертикальной оси симметрии, а область AMB – относительно горизонтальной, мы наложим их на большую область AMD.

При этом останется непокрытым прямоугольник KLMN, а участок EKF (в силу симметрии равный меньшей области BMC) будет покрыт дважды. Поэтому
(S_AMD + S_BMC) – (S_AMB + S_CMD) = S_KLMN = 4ab.

Ответ

4ab.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	18
Дата	1996/1997
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	3