Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом $30$ градусов одна биссектриса в два раза короче другой.

   Решение

---

В таблице 2005×2006 расставлены числа 0, 1, 2 так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке делится на 3.
Какое наибольшее возможное количество единиц может быть в этой таблице?

   Решение

---

Пусть в прямоугольном треугольнике AB и AC – катеты,  AC > AB.  На AC выбрана точка E, а на BC – точка D так, что  AB = AE = BD.
Докажите, что треугольник ADE прямоугольный тогда и только тогда, когда стороны треугольника ABC относятся как  3 : 4 : 5.

   Решение

---

В параллелограмме ABCD точка E – середина AD. Точка F – основание перпендикуляра, опущенного из B на прямую CE.
Докажите, что треугольник ABF – равнобедренный.

   Решение

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Средняя линия треугольника ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD точка E – середина AD. Точка F – основание перпендикуляра, опущенного из B на прямую CE.
Докажите, что треугольник ABF – равнобедренный.

Решение 1

Соединим вершину A с серединой K стороны BC (рис. слева). AKCE – параллелограмм (стороны AE и KC равны и параллельны). Отсюда  AK || CE,  поэтому  AK ⊥ BF  и LK – средняя линия треугольника BCF (L – точка пересечения AK и BF). Таким образом, AL является как высотой, так и медианой треугольника BAF. Значит, этот треугольник равнобедренный.

Решение 2

Пусть прямые CE и AB пересекаются в точке G (рис. справа). Треугольники AEG и DEC равны по стороне  (AE = DE)  и двум прилежащим к ней углам. Поэтому  AB = AG  и FA – медиана прямоугольного треугольника BFG. Как известно, медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы, то есть  FA = AB.

Замечания

баллы: 18-й турнир – 4, 22-й турнир – 3

Источники и прецеденты использования