Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A1...An и соединена отрезками с вершинами. Стороны n-угольника нумеруются числами от 1 до n, разные стороны нумеруются разными числами. То же самое делается с отрезками OA1, ..., OAn.
а) При n = 9 найти нумерацию, при которой сумма номеров сторон для всех треугольников A1OA2, ..., AnOA1 одинакова.
б) Доказать, что при n = 10 такой нумерации осуществить нельзя.
Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющие одинаковое число друзей (из этой компании).
Узлы бесконечной клетчатой бумаги раскрашены
в два цвета. Докажите, что существуют две горизонтальные
и две вертикальные прямые, на пересечении которых лежат
точки одного цвета.
Точки A и B движутся по двум фиксированным лучам с общим
началом O так, что величина
+
остается
постоянной. Докажите, что прямая AB при этом проходит через
фиксированную точку.
На клетчатой доске 5×5 расставили максимальное число шахматных коней так, чтобы они не били друг друга.
Докажите, что такая расстановка единственна.
|
|
 |
Условие
На клетчатой доске 5×5 расставили максимальное число шахматных коней так, чтобы они не били друг друга.
Докажите, что такая расстановка единственна.
Решение
Пример. Рассмотрим шахматную раскраску доски, при которой центральное поле чёрное. Ясно, что 13 коней на чёрных полях друг друга не бьют.
Оценка. Рассмотрим обход доски конем (на рисунке клетки занумерованы в порядке обхода). Ослабим условие: будем требовать только, чтобы кони не стояли на клетках с соседними номерами. Тогда между каждой парой занятых конями номеров должен быть промежуток из одного или нескольких свободных номеров.
Замечания
4 балла
