Задача 98439

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Описанные окружности треугольников ABO и CDO, пересеклись второй раз в точке F. Докажите, что описанная окружность треугольника AFD проходит через точку E пересечения отрезков AC и BD.

Решение

  Будем использовать ориентированные углы (их определение и свойства см. в Справочнике). Заметим, что
∠(AB, BO) + ∠(BD, AD) = ∠(AB, BO) + ∠(BB, AB) = ∠(BB, BО) = 90°  (здесь BB – касательная к окружности в точке B, и она перпендикулярна радиусу).
  Аналогично доказывается, что  ∠(CD, DO) + ∠(AD, AC) = 90°.
  Кроме того,  ∠(AF, FO) = ∠(AB, BO),  ∠(FO, FD) = ∠(СO, СD).  Отсюда
      ∠(AF, FD) = ∠(AF, FO) + ∠(FO, FD) = ∠(AB, BO) + ∠(СO, СD) = 90° – ∠(BD, AD) + 90° – ∠(AD, AC) =
            = 180° – (∠(DE, AD) + ∠(AD, СE)) = 180° – ∠(DE, AE) = ∠(AE, AD).
  Значит, точки A, F, E, D лежат на одной окружности.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1998/1999
Номер	20
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	2