Каталог по источникам

Выбрано 9 задач

Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Окружность с центром в точке $E$ лежит внутри прямоугольника. Из вершин $C$, $D$, $A$ проведены касательные к окружности $CF$, $DG$, $AH$, причем $CF$ пересекает $DG$ в точке $I$, $EI$ пересекает $AD$ в точке $J$, а прямые $AH$ и $CF$ пересекаются в точке $L$. Докажите, что отрезок $LJ$ перпендикулярен $AD$.

Решение

Решите систему

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}l x^6-x^5+x^4-x^3+5x^2=5,\\ x^6-2x^5+3x^4-4x^3+2x=0. \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}l x^6-x^5+x^4-x^3+5x^2=5,\\ x^6-2x^5+3x^4-4x^3+2x=0. \end{array}$

Решение

Найдите наибольший общий делитель многочленов P(x), Q(x) и представьте его в виде P(x)U(x) + Q(x)V(x):
а) P(x) = x⁴ + x³ – 3x² – 4x – 1, Q(x) = x³ + x² – x – 1;
б) P(x) = 3x⁴ – 5x³ + 4x² – 2x + 1, Q(x) = 3x³ – 2x² + x – 1.

Решение

Пусть точки A^*, B^*, C^*, D^* являются образами точек A, B, C, D при инверсии. Докажите, что:
а) ${\frac{AC}{AD}}$ : ${\frac{BC}{BD}}$ = ${\frac{A^*C^*}{A^*D^*}}$ : ${\frac{B^*C^*}{B^*D^*}}$ ;
б) $\angle$ (DA, AC) - $\angle$ (DB, BC) = $\angle$ (D^*B^*, B^*C^*) - $\angle$ (D^*A^*, A^*C^*).

Решение

Докажите, что многочлен P(x) = (xⁿ⁺¹ – 1)(xⁿ⁺² – 1)...(x^n+m – 1) делится на Q(x) = (x – 1)(x² – 1)...(x^m – 1).

Решение

Автор: Бона М.

В турнире участвуют 2m команд. В первом туре встретились некоторые m пар команд, во втором – другие m пар.
Докажите, что после этого можно выбрать m команд, никакие две из которых ещё не играли между собой.

Решение

Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число ${\frac{a-b}{a-c}}$ , называемое простым отношением трех комплексных чисел, вещественно.
б) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, d, лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда число ${\frac{a-c}{a-d}}$ : ${\frac{b-c}{b-d}}$ , называемое двойным отношением четырех комплексных чисел, вещественно.

Решение

Автор: Шаповалов А.В.

В ряд выписаны несколько натуральных чисел с суммой 2019. Никакое число и никакая сумма нескольких подряд записанных чисел не равна 40. Какое наибольшее количество чисел могло быть выписано?

Решение

а) Во всех узлах целочисленной решетки, кроме одного, в котором находится охотник, растут деревья, стволы которых имеют радиус r. Докажите, что охотник не сможет увидеть зайца, находящегося от него на расстоянии больше 1/r.
б) Пусть n — натуральное число. Во всех точках целочисленной решетки, расположенных строго внутри окружности радиуса $\sqrt{n^2+1}$ с центром в начале координат и отличных от начала координат, растут деревья радиуса r. Докажите, что если r < ${\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}}$ , то на указанной окружности есть точка, которую можно увидеть из начала координат.

Решение

Задача 58215 (#24.008)

Задача 58216 (#24.009)

Задача 58217 (#24.010B-)

Задача 58218 (#24.010B-1)

Задача 58219 (#24.010)