Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 367]
Докажите, что найдутся двадцать москвичей, имеющих одинаковое число волос на голове.
(Известно, что у человека на голове не более 400000 волос, а в Москве не менее 8 миллионов жителей.)
Подсказка
Если бы это было не так, то в Москве было бы меньше жителей.
Решение
Всех москвичей разделим на 400001 группу – по числу волос. Предположим, что в каждой из этих групп не более 19 человек. Тогда всего жителей в Москве не более 19·400001 < 8000000. Противоречие.
|
|
|
Сложность: 2
Классы: 6,7,8
|
а) Покажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два, разность которых
кратна 5.
б) Останется ли это утверждение верным, если вместо разности
взять сумму?
Решение
а) См. задачу 21972.
б) Если, например, если все пять чисел при делении на 5 дают остаток 1, то сумма любых двух из них будет давать остаток 2, то есть делиться на 5 не будет.
Ответ
б) Не останется.
|
|
|
Сложность: 2
Классы: 5,6,7
|
Можно ли разложить 44 шарика на 9 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным?
Подсказка
Подумайте, сколько нужно шариков, чтобы выполнить условие задачи.
Решение
Предположим, нам это удалось. Упорядочим кучки по возрастанию количества шариков. Тогда в первой кучке должно быть не меньше одного шарика, во второй – не меньше двух, в третьей – не меньше трёх и т. д. Всего шариков должно быть не меньше чем 1 + 2 + 3 + ... + 9 = 45. А у нас только 44. Противоречие.
Ответ
Нельзя.
|
|
|
Сложность: 2
Классы: 6,7,8
|
В классе
учатся 38 человек. Докажите, что среди них найдутся четверо, родившихся
в один месяц.
Подсказка
Вспомните задачу 145.
Решение
Если бы в каждом месяце родилось не более трех учеников этого
класса, то в классе не могло бы учиться больше, чем
3
12 = 36
учеников, а их по условию 38.
Ответ
Если бы в каждом месяце родилось не более
3х учеников этого класса, то в классе не могло бы учиться больше,
чем
3×12 = 36 учеников.
|
[Сбор орехов]
|
|
Сложность: 2
Классы: 6,7,8
|
Доказать, что если 21 человек собрали 200 орехов, то есть два человека, собравшие поровну орехов.
Решение
Если у всех разное число орехов, то всего было бы собрано не меньше 0+1+2+3+...+20=210 орехов, что противоречит условию задачи.
Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 367]
Фильтр
