ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107781
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки I‍a, I‍b и I‍c – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон соответственно BC, AC и AB треугольника ABC, I — центр вписанной окружности этого треугольника. Докажите, что описанная окружность треугольника ABC проходит через середины сторон треугольника I‍aI‍bI‍c и середины отрезков II‍a, II‍b и II‍c.


Подсказка

Описанная окружность треугольника ABC есть окружность девяти точек треугольника I‍aI‍bI‍c.


Решение

Заметим, что точки A, B и C – основания высот треугольника IaIbIc (см. задачу 56831), поэтому окружность, описанная около треугольника ABC, есть окружность девяти точек треугольника IaIbIc. Значит, эта окружность проходит через середины сторон треугольника IaIbIc. Поскольку IaA, IbB, IcC – высоты треугольника IaIbIc, точка I – ортоцентр этого треугольника. Следовательно, описанная окружность треугольника ABC проходит и через середины отрезков IIa,IIb и IIc.

Замечания

Из доказанного утверждения следует теорема Мансиона: отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам (см. задачу 52395).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 897

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .