ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108101
Темы:    [ Площадь четырехугольника ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Углы между биссектрисами ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах единичного квадрата как на гипотенузах построены во внешнюю сторону прямоугольные треугольники. Пусть A, B, C и D – вершины их прямых углов, а O1, O2, O3 и O4 – центры вписанных окружностей этих треугольников. Докажите, что
  а) площадь четырёхугольника ABCD не превосходит 2;
  б) площадь четырёхугольника O1O2O3O4 не превосходит 1.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

  Пусть KLMN – исходный квадрат, O – его центр, P, Q – середины сторон KL и MN, KAL, LBM, MCN, NDK – построенные треугольники. Напомним, что площадь четырёхугольника равна половине произведения длин его диагоналей на синус угла между ними, то есть не превосходит половины произведения длин диагоналей.

  а) Достаточно доказать, что длины диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD не больше 2. Но   AC ≤ AP + PQ + QC = 0,5 + 1 + 0,5 = 2
(AP = CQ = 0,5,  так как медиана, проведённая к гипотенузе, вдвое меньше гипотенузы). Аналогично  BD ≤ 2.

  б) Заметим, что  ∠KO1L = 90° + ½ ∠KAL = 135°.  Значит, точка O1 лежит на окружности, описанной вокруг квадрата KLMN. То же верно для точек O2, O3 и O4. Следовательно, диагонали четырёхугольника O1O2O3O4 не превосходят диаметра этой окружности, который равен  

Замечания

Баллы: 3 + 3

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 25
Дата 2003/2004
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 4
web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6451

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .