Задача 108121

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Шарыгин И.Ф.

В окружность вписан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Пусть K – середина дуги BC, не содержащей точку A, N – середина отрезка AC, M – точка пересечения луча KN с окружностью. В точках A и C проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке E. Докажите, что
∠EMK = 90°.

Подсказка

Используя теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд и обратную ей теорему, докажите, что точки E, M, O (центр исходной окружности) и K лежат на одной окружности.

Решение

  По теореме о пересекающихся хордах  NA·NC = NM·NK.
  Пусть O – центр окружности. Точки A и C симметричны относительно прямой OE и лежат на окружности с диаметром OE. Поэтому отрезок OE проходит через середину N хорды AC, и (по той же теореме)  NA·NC = NE·NO.
  Отсюда  NM·NK = NE·NO.  Следовательно, точки M, O, K, E лежат на одной окружности.
  Значит,  ∠EMK = ∠EOK,  а угол EOK – прямой  (OE ⊥ AC,  а  OK || AC  как средняя линия треугольника ABC).

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2319
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	66
Год	2003
вариант
Класс	9
задача
Номер	5
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2002/2003
Номер	24
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	4