ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108121
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В окружность вписан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Пусть K – середина дуги BC, не содержащей точку A, N – середина отрезка AC, M – точка пересечения луча KN с окружностью. В точках A и C проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке E. Докажите, что
EMK = 90°.


Подсказка

Используя теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд и обратную ей теорему, докажите, что точки E, M, O (центр исходной окружности) и K лежат на одной окружности.


Решение

  По теореме о пересекающихся хордах  NA·NC = NM·NK.
  Пусть O – центр окружности. Точки A и C симметричны относительно прямой OE и лежат на окружности с диаметром OE. Поэтому отрезок OE проходит через середину N хорды AC, и (по той же теореме)  NA·NC = NE·NO.
  Отсюда  NM·NK = NE·NO.  Следовательно, точки M, O, K, E лежат на одной окружности.
  Значит,  ∠EMK = ∠EOK,  а угол EOK – прямой  (OEAC,  а  OK || AC  как средняя линия треугольника ABC).

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6471
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2002/2003
Номер 24
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 4
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 66
Год 2003
вариант
Класс 9
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .