Задача 109649

Темы:    [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Уравнения в целых числах ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Существуют ли два квадратных трёхчлена  ax² + bx + c  и  (a + 1)x² + (b + 1)x + (c + 1)  с целыми коэффициентами, каждый из которых имеет по два целых корня?

Решение

Предположим противное. Если у трёхчлена  kx² + lx + m  с целыми коэффициентами два целых корня x₁ и x₂, то по теореме Виета m и l делятся на k. Из чисел a и  a + 1  одно чётное. Без потери общности можно считать, что это a. Тогда b и c тоже чётны, а  b + 1  и  c + 1  нечётны. Таким образом все коэффициенты второго трёхчлена нечётны. Если он имеет два целых корня, то по теореме Виета и сумма и произведение их нечётны. Но это невозможно.

Ответ

Не существуют.

Замечания

Ср. с задачей 109657.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1997
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	97.5.10.5