ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]      



Задача 109927  (#97.4.8.1)

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 6,7,8

Докажите, что числа от 1 до 16 можно записать в строку, но нельзя записать по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109923  (#97.4.8.2)

Темы:   [ Раскладки и разбиения ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

а) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более чем в 2 раза.
Докажите, что их можно разложить в пакеты по два яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более чем в 1,5 раза.

б) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более чем в 3 раза.
Докажите, что их можно разложить в пакеты по четыре яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более чем в 1,5 раза.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108175  (#97.4.8.3)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

На сторонах AB и BC равностороннего треугольника ABC взяты точки D и K, а на стороне AC – точки E и M, причём  DA + AE = KC + CM = AB.
Докажите, что угол между прямыми DM и KE равен 60°.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109930  (#97.4.8.4)

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

На предприятии трудятся 50000 человек. Для каждого из них сумма количества его непосредственных начальников и его непосредственных подчинённых равна 7. В понедельник каждый работник предприятия издаёт приказ и выдаёт копию этого приказа каждому своему непосредственному подчинённому (если такие есть). Далее, каждый день работник берёт все полученные им в предыдущий день приказы и либо раздаёт их копии всем своим непосредственным подчинённым, либо, если таковых у него нет, выполняет приказы сам. Оказалось, что в пятницу никакие бумаги по учреждению не передаются. Докажите, что на предприятии не менее 97 начальников, над которыми нет начальников.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108176  (#97.4.8.5)

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Покрытия ]
[ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Докажите, что остроугольный треугольник полностью покрывается тремя квадратами, построенными на его сторонах как на диагоналях.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .