|
|
 |
Условие
Найдите все такие натуральные числа n, что для любых двух его взаимно простых делителей a и b число a + b – 1 также является делителем n.
Решение
Легко проверить, что числа вида pk, где p – простое, а также число 12 удовлетворяют условию задачи. Покажем, что других чисел, удовлетворяющих условию, не существует.
Случай нечётного n рассмотрен в 109752. Пусть n чётно и
не является степенью двойки; представим его в виде n = 2mk, где m ≥ 1, а k > 1 – нечётно.
Заметим, что k + 2 – 1 = k + 1 – делитель n. Поскольку (k + 1, k) = 1, k + 1 = 2α, α > 1.
Поэтому 2² + k – 1 = k + 3 – тоже делитель n. Заметим, что k + 3 = (k + 1) + 2 = 2α + 2 не делится на 4. Кроме того, (k + 3, k) = (3, k) ≤ 3.
Из этого следует, что k + 3 ≤ 2·3 = 6, и k ≤ 3.
Значит, n = 2m·3. Но m = 1 не подходит; m ≥ 3 также не подходит,
так как в этом случае мы получили бы, что 2³ + 3 – 1 = 10 – также делитель n.
Ответ
n – степень простого числа или n = 12.
