Выбрано 5 задач 
Версия для печати
Убрать все задачи
+ 
+...+ 
= 
+ 
+...+ 
.
Верно ли обратное?
Решение
На плоскости даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что хотя бы один из треугольников с вершинами в этих точках не является остроугольным.
Решение
Лиса Алиса и Кот Базилио — фальшивомонетчики. Базилио делает монеты тяжелее настоящих, а Алиса — легче. У Буратино есть 15 одинаковых по внешнему виду монет, но какая-то одна — фальшивая. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь Буратино может определить, кто сделал фальшивую монету — Кот Базилио или Лиса Алиса? Решение
Решение
У 2009 года есть такое свойство: меняя местами цифры числа 2009, нельзя получить меньшее четырехзначное число (с нуля числа не начинаются). В каком году это свойство впервые повторится снова? Решение
Убрать все задачи
Дан вписанный 2n-угольник с углами ,
,
...,
. Докажите, что
РешениеНа плоскости даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что хотя бы один из треугольников с вершинами в этих точках не является остроугольным.
РешениеЛиса Алиса и Кот Базилио — фальшивомонетчики. Базилио делает монеты тяжелее настоящих, а Алиса — легче. У Буратино есть 15 одинаковых по внешнему виду монет, но какая-то одна — фальшивая. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь Буратино может определить, кто сделал фальшивую монету — Кот Базилио или Лиса Алиса?
РешениеВинни-Пух и Пятачок поделили между собой торт. Пятачок захныкал, что ему досталось мало. Тогда Пух отдал ему треть своей доли. От этого у Пятачка количество торта увеличилось втрое. Какая часть торта была вначале у Пуха и какая у Пятачка?
РешениеУ 2009 года есть такое свойство: меняя местами цифры числа 2009, нельзя получить меньшее четырехзначное число (с нуля числа не начинаются). В каком году это свойство впервые повторится снова?
Решение
Задача 110189
|
|
 |
Условие
Существует ли такая бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия
{an} из натуральных чисел, что произведение
an...an+9 делится на сумму
an +... + an+9 при любом натуральном n?
Решение
Предположим, что такая прогрессия существует. Тогда число An = (2an)...(2an+9) делится на Bn = an+4 = an+5 при любом натуральном n. С другой стороны, обозначив через d разность прогрессии, имеем An = (Bn – 9d)(Bn – 7d)...(Bn – d)(Bn + d)...(Bn + 7d)(Bn + 9d).Значит, An = BnCn + D, где Cn – целое число, D = – d10(1·3·...·7·9)². Из этого равенства ясно, что An не делится на Bn при Bn > D. Противоречие.
Ответ
Не существует.
