ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110776
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

a и b – натуральные числа. Покажите, что если  4ab – 1  делит  (4a² – 1)²,  то  a = b.


Решение

  Назовём пару  (a, bхорошей, если  (4a² – 1)²  делится на  4ab – 1.
  b²(4a² – 1)² – a²(4b² – 1)²  делится на  (4a² – 1)b + (4b² – 1)a = (a + b)(4ab – 1),  а поэтому и на  4ab – 1.  Отсюда следует (поскольку a² и  4ab – 1  взаимно просты), что если пара  (a, b)  хорошая, то и пара  (b, a)  хорошая.
  Среди хороших пар есть тривиальные – все пары вида  (a, a).
  Назовём число плохим, если оно входит в нетривиальную хорошую пару. Пусть a – наименьшее плохое число, а  b > a  входит с ним в одну хорошую пару.
  Заметим, что число     (поскольку  4ab – 1 > 4a² – 1).  Кроме того, d делится на 4a (поскольку  (4a² – 1)² + 4ab – 1  делится на 4a, а 4a и  4ab – 1  взаимно просты). Поэтому число  b1 = d/4a  – целое и меньше a. Но  (4a² – 1)²  делится на  4ab1 – 1 = d – 1,  то есть  (a, b1)  – хорошая пара. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Международная Математическая Олимпиада
год
Год 2007
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .