ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 4]      



Задача 110776

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

a и b – натуральные числа. Покажите, что если  4ab – 1  делит  (4a² – 1)²,  то  a = b.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110750

Темы:   [ Теория графов (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Астахов В.

Некоторые участники олимпиады дружат, и дружба взаимна. Назовём группу участников кликой, если все они дружат между собой. Их число называется размером клики. Известно, что максимальный размер клики чётен. Докажите, что участников можно рассадить по двум аудиториям так, что максимальные размеры клик в обеих аудиториях совпадают.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110748

Темы:   [ Выпуклый анализ и линейное программирование ]
[ Неравенства с модулями ]
Сложность: 6-
Классы: 10,11

Даны числа а1, ..., аn.
Для 1 ≤ in положим

di = MAX { aj | 1 ≤ ji } - MIN { aj | ijn }
d = MAX { di | 1 ≤ in }

а) Доказать, что для любых x1x2 ≤ ... ≤ xn выполняется неравенство

MAX { |xi - ai| | 1 ≤ in } ≥ d/2.


б) Доказать, что равенство в (*) выполняется для некоторых {xi} i=1...n

Прислать комментарий     Решение

Задача 110749

Темы:   [ Прямая Симсона ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Рассмотрим 5 точек A, B, C, D, E так что ABCD - параллелограмм, BCED лежат на одной окружности. Al, прямая lпересекает внутренность [DC] в F и прямую BC в G. Пусть EF = EG = EC. Доказать, что l - биссектриса угла DAB.

Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 [Всего задач: 4]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .