ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56907
Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Переведем данную прямую на бесконечность ]
Сложность: 6
Классы: 9,10,11
Название задачи: Теорема Дезарга.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Прямые  AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке O. Докажите, что точки пересечения прямых AB и A1B1BC и B1C1AC и A1C1 лежат на одной прямой (Дезарг).

Решение

Первое решение:

Пусть  A2, B2, C2 — точки пересечения прямых BC и B1C1AC и A1C1AB и A1B1. Применим теорему Менелая к следующим треугольникам и точкам на их сторонах: OAB и  (A1, B1, C2), OBC и  (B1, C1, A2), OAC и  (A1, C1, B2). Тогда

$\displaystyle {\frac{\overline{AA_1}}{\overline{OA_1}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{OB_1}}{\overline{BB_1}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{BC_2}}{\overline{AC_2}}}$ = 1,    $\displaystyle {\frac{\overline{OC_1}}{\overline{CC_1}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{BB_1}}{\overline{OB_1}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{CA_2}}{\overline{BA_2}}}$ = 1,    $\displaystyle {\frac{\overline{OA_1}}{\overline{AA_1}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{CC_1}}{\overline{OC_1}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{AB_2}}{\overline{CB_2}}}$ = 1.

Перемножая эти равенства, получаем

$\displaystyle {\frac{\overline{BC_2}}{\overline{AC_2}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{AB_2}}{\overline{CB_2}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{CA_2}}{\overline{BA_2}}}$ = 1.

Из теоремы Менелая следует, что точки  A2, B2, C2 лежат на одной прямой.
Второе решение:

Сделаем проективное преобразование с исключительной прямой AB. Образы точек при этом преобразовании будем обозначать буквами со штрихом. Рассмотрим гомотетию с центром в точке O' (или параллельный перенос, если O' — бесконечно удаленная точка), переводящую точку C1' в C2'. При этой гомотетии отрезок B1'C1' перейдет в отрезок B2'C2', поскольку B1'C1'| B2'C2'. Аналогично C1'A1' перейдет в C2'A2'. Поэтому соответственные стороны треугольников A1'B1'C1' и  A2'B2'C2' параллельны, т. е. все три точки A', B', C' лежат на бесконечно удаленной прямой.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 7
Название Теорема Менелая
Тема Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер 05.064
книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 30
Название Проективные преобразования
Тема Проективная геометрия
параграф
Номер 3
Название Переведем данную прямую на бесконечность
Тема Переведем данную прямую на бесконечность
задача
Номер 30.026

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .