Информация о задаче

Задача 57441

Тема:

[

Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его вершин не меньше 6r.

Решение

Если $\angle$ C $\geq$ 120^o, то сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его вершин не меньше a + b (задача 12.21); кроме того, a + b $\geq$ 6r (задача 12.27).
Если все углы треугольника меньше 120^o, то в точке минимума суммы расстояний до вершин треугольника квадрат этой суммы равен (a² + b² + c²)/2 + 2 $\sqrt{3}$ S (задача 18.21, б)). Далее, (a² + b² + c²)/2 $\geq$ 2 $\sqrt{3}$ S (задача 10.53, б)) и 4 $\sqrt{3}$ S $\geq$ 36r² (задача 10.53, а)).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	5
Название	Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей
Тема	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями
задача
Номер	10.031