ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      



Задача 57435

Тема:   [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Докажите, что  rrc $ \leq$ c2/4.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78558

Тема:   [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Окружности O1 и O2 лежат внутри треугольника и касаются друг друга извне, причём окружность O1 касается двух сторон треугольника, а окружность O2 -- тоже касается двух сторон треугольника, но не тех же, что O1. Доказать, что сумма радиусов этих окружностей больше радиуса окружности, вписанной в треугольник.
Прислать комментарий     Решение


Задача 98611

Темы:   [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Теорема синусов ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

В треугольнике ABC взяли точку M так, что что радиусы описанных окружностей треугольников AMC, BMC и BMA не меньше радиуса описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что все четыре радиуса равны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66355

Темы:   [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
[ Хорды и секущие (прочее) ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Пусть R1, R2 и R3 – радиусы трёх окружностей, каждая из которых проходит через вершину треугольника и касается противолежащей стороны.
Докажите, что  1/R1 + 1/R2 + 1/R31/r,  где r – радиус вписанной окружности этого треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 55233

Темы:   [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Формулы для площади треугольника ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Докажите, что в любом треугольнике имеет место неравенство  R ≥ 2r, где R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей, причём равенство имеет место только для правильного треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .