ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65081
Темы:    [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Признаки подобия ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы B и D равны,  CD = 4BC,  а биссектриса угла A проходит через середину стороны CD.
Чему может быть равно отношение  AD : AB?


Решение

Обозначим через M середину стороны CD. Рассмотрим на луче AB точку K, симметричную точке D относительно прямой AM. Поскольку
ABC = ∠ADM = ∠AKM,  то  BC || KM  и точка K лежит на отрезке AB. Поскольку  CM = DM = KM,  то  ∠DKC = 90°  и  KC || AM.  Следовательно, у треугольников AKM и KBC стороны соответственно параллельны, поэтому они подобны с коэффициентом   k = KM/BC = 2,  откуда  AD = AK = 2KB  и
AD : AB = 2 : 3.


Ответ

2 : 3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
год/номер
Номер 2 (2010)
тур
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .