Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 101]

Задача 110773

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Разложение на множители	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Найдите все такие пары (x, y) целых чисел, что 1 + 2^x + 2^2x+1 = y².

Прислать комментарий

Решение

Задача 110774

Темы:	[	Итерации	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Многочлен n-й степени имеет не более n корней	]
	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Пусть P(x) – многочлен степени n > 1 с целыми коэффициентами, k – произвольное натуральное число. Рассмотрим многочлен
Q_k(x) = P(P(...P(P(x))...)) (P применён k раз). Докажите, что существует не более n целых чисел t, при которых Q_k(t) = t.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110776

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

a и b – натуральные числа. Покажите, что если 4ab – 1 делит (4a² – 1)², то a = b.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111040

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Найдите все такие натуральные (a, b), что a² делится на натуральное число 2ab² – b³ + 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111043

Темы:	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]
	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]
	[	Арифметическая прогрессия	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Пусть $x_1 \le \dots \le x_n$ . Докажите неравенство $\bigg( \sum \limits_{i,j=1}^n |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{2 (n^2-1)}{3} \sum \limits_{i,j=1}^n (x_i-x_j)^2.$ Докажите, что оно обращается в равенство только если числа $x_1, \dots, x_n$ образуют арифметическую прогрессию.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 101]