Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 101]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Найдите все такие пары (x, y) целых чисел, что
1 + 2x + 22x+1 = y².
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Пусть P(x) – многочлен степени n > 1 с целыми коэффициентами, k – произвольное натуральное число. Рассмотрим многочлен
Qk(x) = P(P(...P(P(x))...)) (P применён k раз). Докажите, что существует не более n целых чисел t, при которых Qk(t) = t.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
a и b – натуральные числа. Покажите, что если 4ab – 1 делит (4a² – 1)², то a = b.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Найдите все такие натуральные (a, b), что a2 делится на натуральное число 2ab2 – b3 + 1.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Пусть $x_1 \le \dots \le x_n$. Докажите неравенство $$\bigg( \sum \limits_{i,j=1}^n |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{2 (n^2-1)}{3} \sum \limits_{i,j=1}^n (x_i-x_j)^2.$$
Докажите, что оно обращается в равенство только если числа $x_1, \dots, x_n$ образуют арифметическую прогрессию.
Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 101]
Все авторы
>>
Канель-Белов А.Я. 
